Autokorrelasjonsfunksjons Moving Average Prosess

2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi en autoregressiv term i en tidsseriemodell for variabelen xt er en forsinket verdi på xt For eksempel , et lag 1 autoregressivt uttrykk er x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, betydning at wt er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normalfordeling med gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike i lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner på lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1 . For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av kausalrepresentasjonen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers serien diverges. Purpose Check Randomness. Autocorrelation plots Box og Jenkins, s. 28-32 er en vanlig - brukt verktøy for å sjekke tilfeldighet i et datasett Denne tilfeldigheten er fastslått ved å beregne autokorrelasjoner for dataverdier ved varierende tidsforsinkelser. Hvis tilfeldig, bør slike autokorrelasjoner være nær null for alle tidsforsinkelsesavvik. Hvis ikke-tilfeldig, så vil en eller flere av autokorrelasjonen ns vil være vesentlig ikke-null. I tillegg brukes autokorrelasjonsplott i modellidentifikasjonstrinnet for Box-Jenkins autoregressive, bevegelige gjennomsnittlige tidsseriemodeller. Autokorrelasjon er bare ett mål for tilfeldighet. Merk at uncorrelated ikke nødvendigvis betyr tilfeldig Data som har betydelig autokorrelasjon ikke tilfeldig. Data som ikke viser signifikant autokorrelasjon, kan likevel vise ikke-tilfeldighet på andre måter Autokorrelasjon er bare et mål for tilfeldighet I sammenheng med modellvalidering som er den primære typen tilfeldighet vi dikterer i Håndboken, sjekk for autokorrelasjon er vanligvis en tilstrekkelig test av tilfeldighet siden resterne fra en dårlig monteringsmodell har en tendens til å vise ikke-subtil tilfeldighet. Noen applikasjoner krever en strengere bestemmelse av tilfeldighet. I disse tilfellene er et batteri av tester, som kan omfatte kontroll av autokorrelasjon, brukes da data kan være ikke-tilfeldig i mange forskjellige og ofte subtile måter. Et eksempel på hvor det er behov for en strengere kontroll for tilfeldighet, ville være å teste tilfeldige tallgeneratorer. Eksempelplott Autokorrelasjoner bør være nær null for tilfeldighet. Slik er ikke tilfellet i dette eksemplet, og dermed slår tilfeldighetsforutsetningen bort. Denne prøveautokorrelasjonen plot viser at tidsseriene ikke er tilfeldige, men har snarere en høy grad av autokorrelasjon mellom tilstøtende og nærliggende observasjoner. Definisjonen rh versus h. Autokorrelasjonsplottene dannes av. Vertisk akse Autokorrelasjonskoeffisient. der Ch er autokovariansfunksjonen. og C 0 er variansfunksjonen. Merk at R h er mellom -1 og 1. Merk at noen kilder kan bruke følgende formel for autokovariansfunksjonen. Selv om denne definisjonen har mindre bias, har 1 N formuleringen noen ønskelige statistiske egenskaper og er skjemaet som oftest brukes i statistikklitteraturen Se side 20 og 49-50 i Chatfield for detaljer. Horisontal akse Tidsforsinkelse hh 1, 2, 3.Overstrekningslinjen gjelder også inneholder flere horisontale referanselinjer Midtlinjen er null De andre fire linjene er 95 og 99 konfidensbånd. Merk at det er to forskjellige formler for å generere konfidensbåndene. Hvis autokorrelasjonsplottet blir brukt til å teste for tilfeldighet, dvs. det er ingen tid avhengighet i dataene, anbefales følgende formel. Hvor N er prøvestørrelsen, z er den kumulative fordelingsfunksjonen til standard normalfordeling og alfa er signifikansnivået. I dette tilfellet har konfidensbåndene en fast bredde som avhenger av prøven størrelse Dette er formelen som ble brukt til å generere konfidensbåndene i ovennevnte plot. Autokorrelasjonsplottene benyttes også i modellidentifikasjonstrinnet for montering av ARIMA-modeller. I dette tilfellet antas en bevegelig gjennomsnittsmodell for dataene og følgende konfidensbånd skal genereres. hvor k er lagret, N er prøvestørrelsen, z er den kumulative fordelingsfunksjonen til standard normalfordeling og alfa er Signifikansnivået I dette tilfellet øker konfidensbåndene etter hvert som laget øker. Autokorrelasjonsplottet kan gi svar på de følgende spørsmålene. Vær data random. Er en observasjon knyttet til en tilstøtende observasjon. Det er en observasjon knyttet til en observasjon to ganger fjernet etc. Is den observerte tidsserien hvit støy. Er den observerte tidsserien sinusformet. Er den observerte tidsserien autoregressive. Hva er en passende modell for de observerte tidsseriene. Er modellen. valid og tilstrekkelig. Er formelen ss sqrt gyldig. Importance Sikre gyldigheten av engineering conclusions. Randomness sammen med fast modell, fast variasjon og fast distribusjon er en av de fire antagelsene som vanligvis ligger til grunn for alle måleprosesser. Tilfeldighetenes antagelse er kritisk viktig av følgende tre grunner. De fleste standard statistiske tester er avhengige av tilfeldighet Gyldigheten av testkonklusjonene er direkte knyttet til gyldigheten av tilfeldighetsforutsetningen. Mange ofte - brukte statistiske formler avhenger av tilfeldighetsforutsetningen, den vanligste formelen er formelen for å bestemme standardavviket til sample meanen. hvor s er standardavviket til dataene Selv om det er tungt brukt, er resultatene fra å bruke denne formelen av ingen verdi med mindre tilfeldighetsforutsetningen holder. For univariate data er standardmodellen. Hvis dataene ikke er tilfeldige, er denne modellen feil og ugyldig, og estimatene for parametrene som konstanten blir uansvarlige og ugyldige. Kort sagt, hvis analytikeren gjør det ikke sjekk for tilfeldighet, så blir gyldigheten av mange av de statistiske konklusjonene mistenkt. Autokorrelasjonsplottet er en utmerket måte å sjekke for slike tilfeldigheter. Utødeleggende prosesser. I denne artikkelen er definisjonen, egenskapene og bruken av lineære autoregressive prosesser eller autoregressjoner vurdert Disse er en viktig delmengde av klassen av autoregressive bevegelige gjennomsnittlige ARMA-prosesser som er mye brukt som stat Ioniske modeller for tidsseriedata Spesiell oppmerksomhet blir lagt på problemet med å velge og estimere passende autoregressjoner for å beskrive empirisk observerte tidsserier WIREs Comp Stat 2011 3 316 331 DOI 10 1002 wics 163. Wolfer s årlige solspot tall, 1749 1924. Spektral tetthet av Yule s autoregressive modell for solspotserien, 1749 1924, diskutert i eksempel 3. Autokorrelasjonsfunksjonen venstre og delvis autokorrelasjonsfunksjon rett på Yule s-modellen i Eq. 1 for solskiktsserien, 1749 1924, tegnet for lags 0 40 år.